Question

【題目】設(shè)圓x2+y2=12與拋物線x2=4y相交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點，從左至右依次為P1 ， P2 ， P3 ， P4 ， 則|P1P2|+|P3P4|的值 ， 若直線m與拋物線相交于M，N兩點，且與圓相切，切點D在劣弧 上，則|MF|+|NF|的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】5 ；[2+4 ，22]

【分析】聯(lián)立圓和拋物線的方程求出交點坐標(biāo)即可判斷直線和圓分別交于四點，根據(jù)已知利用四點的橫坐標(biāo)表示結(jié)合韋達定理代入上式即可的結(jié)果。設(shè)出直線方程即得交點坐標(biāo)再利用點的縱坐標(biāo)表示出|MF|+|NF|即得到關(guān)于k與b的函數(shù)式，再結(jié)合斜率的值得到k的取值范圍，再把k的取值范圍代入上式求出其取值范圍即可。
【解析】解：由 ，得 或 ，

即A（﹣2 ，2），B（2 ，2）．

∵點F坐標(biāo)為（0，1），∴kFB= ，∴kl＞kFB，

所以直線l與圓交于P1、P3兩點，與拋物線交于P2、P4兩點，

設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4）

把直線l方程：y=x+1代入x2=4y，得x2﹣4x﹣4=0，∴x2+x4=4；

把直線l方程：y=x+1代入x2+y2=12，得2x2+2x﹣11=0，∴x1+x3=﹣1

∴|P1P2|+|P3P4|= [（x2﹣x1）+（x4﹣x3）]= [（x2+x4）﹣（x1+x3）]=5

所以|P1P2|+|P3P4|的值等于5 ．

設(shè)直線m的方程為y=k+b（b＞0），

代入拋物線方程得x2﹣4kx﹣4b=0，

設(shè)點M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=4k，

則y1+y2=k（x1+x2）+2b=4k2+2b，

∵直線m與該圓相切，∴ = ，即 ，

又|MF|=y1+1，|NF|=y2+1，

∴|MF|+|NF|=y1+y2+2=4k2+2b+2=

∵kOA=﹣ ，kOB= ，∴分別過A、B的圓的切線的斜率為 ，﹣ ．

∴k∈[﹣ ， ]，∴0≤k2≤2，∴0≤ ﹣1≤12，

∵b＞0，∴b∈[2 ，6]

所以|MF|+|NF|的取值范圍為[2+4 ，22]．

所以答案是：5 ；[2+4 ，22]．