Question

若不等式[（1-x）t-x]lgx＜0對(duì)任意正整數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）

• A、{x|x＞1}
• B、{x|0＜x＜

  1

  2

  }
• C、{x|0＜x＜

  1

  2

  或x＞1}
• D、{x|0＜x＜

  1

  3

  或x＞1}

Answer 1

分析：因?yàn)橛幸蚴絣gx，所以須對(duì)x分x＞1，0＜x＜1和x=1三種情況討論，在每一種情況下求出對(duì)應(yīng)的x的范圍，最后綜合即可．

解答：解：由題知x＞0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，lgx＞0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0轉(zhuǎn)化為（1-x）n-x＜0?a＞

n

n+1

=1-

1

n+1

對(duì)任意正整數(shù)n恒成立?x＞1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0轉(zhuǎn)化為（1-x）n-x＞0?x＜

n

n+1

=1-

1

n+1

對(duì)任意正整數(shù)n恒成立?x＜

1

2

，
∵0＜x＜1，∴0＜x＜

1

2

．
當(dāng)x=1時(shí)，lgx=0，不等式不成立舍去
綜上，實(shí)數(shù)x的取值范圍是  x＞1或0＜x＜

1

2

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的恒成立問題以及分類討論思想的應(yīng)用．分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個(gè)擊破．