Question

如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y相切于點A．
（1）求實數b的值；
（11）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，得x²-4x-4b=0，由直線l與拋物線C相切，能求出b．
（II）由b=-1，得x²-4x+4=0，解得x=2，將其代入x²=4y，得y=1，故點A（2，1）．因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓心A到拋物線C的準線y=-1的距離等于圓A的半徑r，由此能求出圓A的方程．
解答：解：（I）由，得x²-4x-4b=0，（*）
因為直線l與拋物線C相切，
所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，
解得b=-1．…（4分）
（II）由（I）知b=-1，
故方程（*）即為x²-4x+4=0，
解得x=2，將其代入x²=4y，
得y=1，故點A（2，1）．
因為圓A與拋物線C的準線相切，
所以圓心A到拋物線C的準線y=-1的距離等于圓A的半徑r，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圓A的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．…..（12分）
點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查圓的方程的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．