Question

如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y相切于點A．
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（I）由

y=x+b x2=4y

，得：x²-4x-4b=0，由直線l與拋物線C相切，知△=（-4）²-4×（-4b）=0，由此能求出實數b的值．
（II）由b=-1，得x²-4x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x²=4y，得點A的坐標為（2，1），因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，由此能求出圓A的方程．

解答：解：（I）由

y=x+b x2=4y

，消去y得：x²-4x-4b=0①，
因為直線l與拋物線C相切，
所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，
解得b=-1；
（II）由（I）可知b=-1，
把b=-1代入①得：x²-4x+4=0，
解得x=2，代入拋物線方程x²=4y，得y=1，
故點A的坐標為（2，1），
因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圓A的方程為：（x-2）²+（y-1）²=4．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．