Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

1-x2

是（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(2)=-

2

3

（1）求a、b的值   
（2）判斷并證明f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)可得f（0）=0，由此可求得b值，由f（2）=-

2

3

可求得a值；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，通過(guò)作差可比較f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可判斷證明；

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+b

1-x2

是（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴b=0，
又f(2)=

2a

1-4

=-

2

3

，∴a=1；
（2）f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

x1

1- x 2 1

-

x2

1- x 2 2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

(1+x1)(1-x1)(1+x2)(1-x2)

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+x₁x₂＞0，∴（1+x₁）（1-x₁）（1+x₂）（1-x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上的是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬中檔題，定義是解決該類問題的基本方法．