Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中點，G是AE，DF的交點．

（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求證：BD⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：G是AE，DF的交點，∴G是AE中點，又H是BE的中點，

∴△EAB中，GH∥AB，

∵AB∥CD，∴GH∥CD，

又∵CD平面CDE，GH平面CDE

∴GH∥平面CDE

（2）證明：平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，

∵ED⊥AD，ED平面ADEF

∴ED⊥平面ABCD，

∴ED⊥BD，

又∵BD⊥CD，CD∩ED=D

∴BD⊥平面CDE．

【解析】（1）欲證GH∥平面CDE，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證GH與平面CDE內一直線平行，而G是AE，DF的交點，G是AE中點，又H是BE的中點，則GH∥AB，而AB∥CD，則GH∥CD，CD平面CDE，GH平面CDE，滿足定理所需條件．（2）欲證BD⊥平面CDE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面CDE內兩相交直線垂直，根據平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，ED⊥AD，ED平面ADEF，則ED⊥平面ABCD，從而ED⊥BD，BD⊥CD，CD∩ED=D，滿足定理所需條件．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．