Question

設函數，且其圖象關于直線x=0對稱，則（ ）
A．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為增函數
B．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為減函數
C．y=f（x）的最小正周期為，且在上為增函數
D．y=f（x）的最小正周期為，且在上為減函數

Answer 1

【答案】分析：將函數解析式提取2，利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，找出ω的值，代入周期公式，求出函數的最小正周期，再由函數圖象關于直線x=0對稱，將x=0代入函數解析式中的角度中，并令結果等于kπ（k∈Z），再由φ的范圍，求出φ的度數，代入確定出函數解析式，利用余弦函數的單調遞減區間確定出函數的得到遞減區間為[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函數在（0，）上為減函數，進而得到正確的選項．
解答：解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）
=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]
=2cos（2x+φ-），
∵ω=2，
∴T==π，
又函數圖象關于直線x=0對稱，
∴φ-=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），
又|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函數的遞減區間為[kπ，kπ+]（k∈Z），
又（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），
∴函數在（0，）上為減函數，
則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，）上為減函數．
故選B
點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，余弦函數的對稱性，余弦函數的單調性，以及兩角和與差的余弦函數公式，其中將函數解析式化為一個角的余弦函數是本題的突破點．