Question

在下列各命題中:

①|a+b|－|a－b|≤2|b|；

②a、b∈R⁺,且x≠0,則|ax+|≥2；

③若|x－y|<ε,則|x|<|y|+ε；

④當且僅當ab<0或ab=0時,|a|－|b|≤|a+b|中的等號成立.

其中真命題的序號為__________.

本題主要考查絕對值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的應用.

Answer 1

①②③

解析:

∵|a+b|－|a－b|≤|(a+b)－(a－b)|=|2b|=2|b|,

∴①是真命題.

∵a、b∈R⁺,x≠0,∴ax與同號.

∴|ax+|=|ax|+||≥2=2.

∴②是真命題.

∵|x－y|<ε,∴|x|－|y|≤|x－y|<ε.

∴|x|－|y|<ε.

移項得|x|<|y|+ε,∴③是真命題.

當a=－1,b=2時,有ab<0.

|a|－|b|=1－2=－1,|a+b|=|－1+2|=1,則此時|a|－|b|≠|a+b|.

∴④是假命題.

∴真命題的序號為①②③.