Question

設F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，過F且與拋物線C對稱軸垂直的直線被拋物線C截得線段長為4．
（1）求拋物線C方程．
（2）設A、B為拋物線C上異于原點的兩點且滿足FA⊥FB，延長AF、BF分別拋物線C于點C、D．求：四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

解：（1）由條件得2p=4，∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）兩直線垂直，焦點為（1，0），不妨設兩直線為：y=k（x-1）（k≠0）與ky=1-x
y=k（x-1）與拋物線方程聯立，可得k² x²-2（k²+2）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則|x₁-x₂|==
∴弦長|AC|=|x₁-x₂|=
同理可得，弦長|BD|=4（k²+1）
∵兩條直線相互垂直，∴這個四邊形的面積S=|AC||BD|=8（+2）≥8（2+2）=32
當且僅當k=±1時等號成立，此時取到面積最小值為32．
分析：（1）根據過F且與拋物線C對稱軸垂直的直線被拋物線C截得線段長為4，可得2p=8，從而可得拋物線C的方程；
（2）設出直線方程與拋物線方程聯立，計算出|AC|、|BD|，可得S=|AC||BD|=8（+2），利用基本不等式，即可求四邊形ABCD面積的最小值．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．