Question

設常數a＞0，展開式中x³的系數為-，則a=    ，=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項展開式通項公式Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-）^r，整理后，令x的次數等于3，從而解得a，
（2）再求等比數列的前n項和，s_n=，且aⁿ=0（∵a＜1），從而得解．
方法2：由a=＜1，可知數列a，a²…aⁿ是遞降等比數列，則（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數列的各項和，利用無窮遞降等比數列的各項和公式，可得解．
解答：解：（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1時，即（-1）c₅¹a⁴=-，∴a=．故答案為

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=，
∴（a+a²+…+aⁿ）==（∵a＜1時，aⁿ=0）
==．
故答案為．
方法2：由a=，可知數列a，a²…aⁿ是遞降等比數列，
則（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數列的各項和，
由無窮遞降等比數列的各項和公式（s_n=），
可知（a+a²+…+aⁿ）=═=．
故答案為．
點評：本題（1）主要考查二項式展開式特定項的系數的求法，需要熟記展開式的通項公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常見題型．
（2）主要考查等比數列求和公式及極限的運算，需要注意：當a的絕對值小于1時，aⁿ=0，方法2：要記住無窮遞降等比數列各項和公式s_n=．在選擇填空中可以加快速度．