Question

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知是⊙的直徑，直線與⊙相切于點(diǎn)，平分.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，求的長(zhǎng).

Answer 1

（I）證明：見解析；（II） 。

此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合利用，此題的關(guān)鍵是作好2條輔助線：（1）連接OC．（2）連接BC，然后利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解的．
（1）連接OC．先證∠D=∠OCE．利用直線DE與⊙O相切于點(diǎn)C，求證∠D=90°即可得出AD⊥DC．
（2）∵，∴∽得到邊的關(guān)系進(jìn)而解得。
（I）證明：連結(jié).∵直線與⊙相切于點(diǎn)，
∴    ……………………………………2分
∵平分,∴,∴,
∵是⊙的直徑，∴,∴，
即.……………………………5分
（II）解：∵，∴∽，………7分
∴，∴，
∵，∴ …………………………10分