Question

若地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，且這兩點間的球面距離為，則北緯45°圈所在平面與過A、B兩點的球的大圓面所成的二面角的余弦值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如圖，Q為北緯45°圈 的圓心，△QAB，OAB均為等腰三角形，設M為AB中點，可知∠OMQ為所求角．由已知，求出QM，OM再在RT△OMQ中求解即可．
解答：解：如圖，A、B兩點間的球面距離為以O為圓心，且過A，B的圓中弧AB的長度，
設∠AOB=α，則α•R=，α=．，
又OA=OB，∴△AOB為正三角形，∴AB=R．
設Q為北緯45°圈的圓心，則由球的截面圓形狀可知，OQ⊥⊙Q面，∠OAQ=45°，
且截面圓半徑長QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°=R．
在△QAB中，QA²+QB²=AB²，得△QAB為等腰直角三角形．
設M為AB中點，連接QM，OM，則OM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠OMQ為北緯45°圈所在平面與過A、B兩點的球的大圓面所成的二面角的平面角．
在RT△OMQ中，cos∠OMQ====
所以所求二面角的余弦值是
故選B．
點評：本題考查面面角的大小計算，結合了球的有關性質：球的截面圓的性質，緯度的意義，球面距離的概念．需具有一定的空間想象能力、轉化、計算能力．