Question

已知函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱，且滿足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）+f（x），問是否存在p（p＜0）使F（x）在區間（-∞，-3]上是減函數，且在區間（-3，0）內是增函數？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x-2=t由整體換元的方法求函數f（x）的解析式．
（2）先根據（1）表示出F（x）的解析式，然后假設存在p使得滿足條件，由減函數的定義或由減函數對應的導數小于0求出p的值．
解答：解：（Ⅰ）令x-2=t，則x=t+2．
由于f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），
所以f（t）=a（t+2）²-（a-3）（t+2）+（a-2）
=at²+3（a+1）t+（3a+4）
∴f（x）=ax²+3（a+1）x+（3a+4）
∵y=f（x）的圖象關于y軸對稱
∴a≠0且3（a+1）=0，即a=-1
故f（x）=-x²+1
（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]=-（-x²+1）²+1
=-x⁴+2x²F（x）=pg（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1
設存在p（p＜0），使F（x）滿足題目要求，
則當-∞＜x₁＜x₂≤-3時，
F（x）是減函數，即F（x₁）-F（x₂）
=（x₁²-x₂²）[2p-1-p（x₁²+x₂²）]＞0
由假設-x₁＞-x₂≥3＞0，∴x₁²＞x₂²＞9
∴2p-1-p（x₁²+x₂²）＞0 ①
又p＜0，x₁²+x₂²＞18∴-p（x₁²+x₂²）＞-18p
∴2p-1-p（x₁²+x₂²）＞2p-1-18p=-16p-1
要使①式恒成立，只須-16p-1≥0即p≤
又當-3＜x₁＜x₂＜0時，F（x）是增函數，
即F（x₁）-F（x₂）＜0，也就是2p-1-p（x₁²+x₂²）＜0 ②
此時0＜-x₂＜-x₁＜3．x₁²+x₂²＜18-p（x₁²+x₂²）＜-18p，
2p-1-p（x₁²+x₂²）＜-16p-1
要使②式恒成立，只須-16p-1≤0即p≥
故存在p=滿足題目要求．
另解：依題意F（-3）是F（x）的極小值，∴F′（-3）=0．
∵F'（x）=-4px³+2（2p-1）x，∴-4p（-3）³+2（2p-1）（-3）=0，
即．當p=時，
，
∴當x＜-3時，F'（x）＜0，F（x）在（-∞，-3]上是減函數；
當x∈（-3，0）時，F（x）是增函數．
故存在滿足題目要求．
點評：本題主要考查求函數解析式和根據函數單調性求值的問題．求函數的解析式時一般用換元法、湊配法、方程法等．函數的單調性經常與函數的導數值的正負聯系起來，即當導數大于0時函數單調遞增，當導數小于0時函數單調遞減．