Question

已知函數f（x）=3^x-1的反函數y=f^-1（x），g（x）=log₉（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）設函數H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，當x∈D時，求H（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據原函數f（x）的表達式將x、y進行互換，解出用y表示x的式子，從而得出反函數f^-1（x）的表達式，將此表達式代入題中的不等式：f^-1（x）≤g（x），根據對數函數的單調性求出自變量x的取值范圍；
（Ⅱ）利用對數的運算法則，將函數H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)轉化為y=log9(3-

2

x+1

)的形式，再討論其內層函數的值域，最后根據對數函數y=log₉x的單調性，得出函數H（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由原函數，令x=3^y-1，得y=log₃（x+1）
故函數的反函數為y=f^-1（x）=log₃（x+1），
不等式f^-1（x）≤g（x）化為：log₃（x+1）≤log₉（3x+1）
即：log₉（x+1）²≤log₉（3x+1）
所以有0＜（x+1）²≤3x+1且x＞-1
解這個不等式組，得0≤x≤1
∴不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]
（Ⅱ）H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)=log₉

3x+1

x+1

=log9(3-

2

x+1

)
因為x∈D，所以真數3-

2

x+1

∈[1，2]
可得H（x）的值域為[log₉1，log₉2]，
∴H（x）的值域是[0，log₉2]

點評：本題考查了反函數、函數的值域以及函數與不等式相綜合的問題，屬于中檔題．第二問不讓函數的值域時，要注意分清內函數的值域以及外函數的單調性，方能不出差錯．