Question

已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x²－y²＝1交于A、B兩點

(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數a的值；

(2)是否存在這樣的實數a，使A、B兩點關于直線y＝x對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)由消去y，得 　　(3－a2)x2－2ax－2＝0　�、� 　　依題意 　　即＜a＜且a≠±　�、� 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　則 　　∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB． 　　∴x1x2＋y1y2＝0． 　　但y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1， 　　由③④，x1＋x2＝，x1x2＝． 　　∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0． 　　解得a＝±1且滿足②． 　　(2)假設存在實數a，使A、B關于y＝x對稱，則直線y＝ax＋1與y＝x垂直， 　　∴a·＝－1，即a＝－2． 　　直線l的方程為y＝－2x＋1． 　　將a＝－2代入③得x1＋x2＝4． 　　∴AB中點橫坐標為2， 　　縱坐標為y＝－2×2＋1＝－3． 　　但AB中點(2，－3)不在直線y＝x上， 　　即不存在實數a，使A、B關于直線y＝x對稱．