Question

數列{a_n}滿足a₁=1，an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）根據（1）猜想到數列{a_n}的通項公式，用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據遞推關系an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）根據（1）猜想an=

2n-1

(n∈N*)，然后利用數學歸納法進行證明，證明的關鍵時式子是ak+1=

2 a 2 k +1

=

2(2k-1)+1

=

2k+1-1

．

解答：解：（1）由a₁=1，an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)
可求得：a₁=1，a2=

3

，a3=

7

，a4=

15

，a5=

31

…（4分）
（2）根據（1）猜想an=

2n-1

(n∈N*)數學歸納法證明如下：…（5分）
（Ⅰ）當n=1時，a1=

22-1

=1結論顯然成立    …（7分）
（Ⅱ）假設當n=k時結論成立，即ak=

2k-1

…（9分）
則：n=k+1時，ak+1=

2 a 2 k +1

=

2(2k-1)+1

=

2k+1-1

這表明 n=k+1時結論成立       …（12分）
綜上  由（Ⅰ）（Ⅱ）可知對一切n∈N^*都有an=

2n-1

(n∈N*)成立 …（14分）

點評：本題主要考查了數列的遞推關系，以及數學歸納法的運用，同時考查了計算化簡能力，屬于中檔題．