Question

在極坐標系中，點O（0，0），B（2

2

，

π

4

）．
（1）求以OB為直徑的圓C的直角坐標方程；
（2）若直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ=4，判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）設P（ρ，θ）是所求圓上的任意一點，由于OB為直徑，可得∠OPB=90°，ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)，展開化簡再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（2）由x²+y²-2x-2y=0配方為（x-1）²+（y-1）²=2，可得圓C的圓心的坐標為（1，1），半徑為

2

，直線l的直角坐標方程為x+y=4，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）設P（ρ，θ）是所求圓上的任意一點，
∵OB為直徑，∴∠OPB=90°，
則OP=OBcos(

π

4

-θ)，即ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)，
亦即x²+y²-2x-2y=0，
故所求的圓C的直角坐標方程為x²+y²-2x-2y=0．
（2）由x²+y²-2x-2y=0配方為（x-1）²+（y-1）²=2，
圓C的圓心的坐標為（1，1），半徑為

2

，
直線l的直角坐標方程為x+y=4，
圓心到直線距離d=

|1+1-4|

2

=

2

，
∴直線與圓相切．

點評：本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、直線與圓的位置關系判定，考查了計算能力，屬于基礎題．