Question

設，．證明：當且僅當時，存在數列滿足以下條件：

（�。�，；

（ⅱ）存在；

（ⅲ），．

Answer 1

[證]  必要性：假設存在滿足（�。�，（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為

          ，，

其中．

將上式從第1項加到第項，并注意到得

       ．              

由（ⅱ）可設，將上式取極限得

        

           

，

因此．                                                          

充分性：假設．定義多項式函數如下：

         ，，

則在[0,1]上是遞增函數，且

，．

因此方程在[0,1]內有唯一的根，且，即．   

下取數列為，，則明顯地滿足題設條件（�。�，且  ．

因，故，因此，即的極限存在，滿足（ⅱ）．                                                              

最后驗證滿足（ⅲ），因，即，從而

        ．

綜上，已證得存在數列滿足（�。�，（ⅱ），（ⅲ）．          

解析:

解析見答案