Question

橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的右焦點為F，P₁、P₂、P₃是此橢圓上不同的三點，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，則

1

|P1F|

+

1

|P2F|

+

1

|P3F|

=

15

16

．

Answer 1

分析：記橢圓的右頂點為A，并設∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假設 0≤α₁＜

2π

3

，且 α₂=α₁+

2π

3

，α₃=α₁+

4π

3

，又設點P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 e=

c

a

=，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=（

a2

c

-c-|FP_i|cosαi）e=（9-|FP_i|cosα_i）（i=1，2，3）．由此入手能夠推導出結果．

解答：解：由題意知a=5，b=4，c=3，e=

3

5

．
記橢圓的右頂點為A，并設∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假設 0≤α₁＜

2π

3

，且 α₂=α₁+

2π

3

，α₃=α₁+

4π

3

，
又設點P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 e=

3

5

，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=（

a2

c

-c-|FP_i|cosα_i）e=

3

5

（

16

3

-|FP_i|cosα_i）（i=1，2，3）
解得 

1

|FPi|

=

5

16

（1-

3

5

cosα_i）（i=1，2，3）
則

1

|P1F|

+

1

|P2F|

+

1

|P3F|

=

15

16

-

3

5

[cosα₁+cos（α₁+

2π

3

）+cos（α₁+

4π

3

）]，
而 cosα₁+cos（α₁+

2π

3

）+cos（α₁+

4π

3

）
=cosα₁-

1

2

cosα₁-

3

2

sinα₁-

1

2

cosα₁+

3

2

sinα₁=0，
故 

1

|P1F|

+

1

|P2F|

+

1

|P3F|

=

15

16

．
故答案為：

15

16

．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題中的隱含條件．