Question

（本題滿分14分）

已知二次函數+的圖象通過原點，對稱軸為，.是的導函數，且 .

（1）求的表達式（含有字母）；

（2）若數列滿足，且，求數列的通項公式；

（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數,使得當時恒成立?若存在,求出最小的；若不存在,說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：（I）由已知，可得，，        …… 1分

∴解之得，       ……3分

               …… 4分

（II）                     …… 5分

=       …… 8分（III）

                    …… 10分

     （1）

     （2）

（1）—（2）得：   … 12分

=，即,當時，  … 13分

，使得當時，恒成立        …… 14分

考點：二次函數的性質；數列通項公式的求法；用錯位相減法求數列的前n項和。

點評：若已知遞推公式為的形式求通項公式常用累加法。

注：①若是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;

②若是關于n的二次函數，累加后可分組求和;

③是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;

④是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。