Question

（本小題滿分14分）

如圖：在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且

   （I）證明：平面AMN；

   （II）求三棱錐N的體積；

   （III）在線段PD上是否存在一點E，使得平面ACE；若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

證明：（I）因為ABCD為菱形，所以AB=BC

又∠ABC=60°，所以AB=BC=AC，    ………………1分[來源:Z&xx&k.Com]

又M為BC中點，所以BC⊥AM   ………………2分

而PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC  ………………4分

又PA∩AM=A，所以BC⊥平面AMN    ………………5分

   （II）因為   ………………6分

又PA⊥底面ABCD，PA=2，所以AN=1

所以，三棱錐N—AMC的體積   ………………8分

   ………………9分

   （III）存在  ………………10分

取PD中點E，連結NE，EC，AE，

因為N，E分別為PA，PD中點，所以 ………………11分

又在菱形ABCD中，  

所以NE，即MCEN是平行四邊形   ………………12分

所以，NM//EC，

又EC平面ACE，NM平面ACE

所以MN//平面ACE，  ………………13分

即在PD上存在一點E，使得NM//平面ACE，

此時

【解析】略