Question

【題目】設函數 （ 且 ），當點 是函數 圖象上的點時，點 是函數 圖象上的點.
（1）寫出函數 的解析式；
（2）把 的圖象向左平移a個單位得到 的圖象，函數 ，是否存在實數 ，使函數 的定義域為 ，值域為 .如果存在，求出 的值；如果不存在，說明理由；
（3）若當 時，恒有 ，試確定a的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：設點Q的坐標為 ，
則 ，即 .
點 在函數 圖象上，
，即 ,
.
故答案為：.
（2）解： ，
，故
在 上單調遞增， ，即 為 的兩相異的非負的實數
即 x 2 + 2 x = x ，解得 m = 0 , n = 1。
（3）解：函數 ，
由題意 ，則 ，
又 ，且
，
，
又 對稱軸為x=2a，
，則 在 上為增函數，
函數 在 上為減函數，
從而 ，
又 ，則 ，
.
【解析】（1）根據已知條件設出點O的坐標，分別將橫坐標和縱坐標代入函數f（x）表達式中，即可求出y=g（x）的表達式。
（2）根據y=g（x）的圖像得出y=h（x）的圖像，再將函數h（x）打入函數F（x）的表達式中判斷值域、定義域的取值范圍。
（3）要判斷恒成立，即判斷.
【考點精析】通過靈活運用函數的值域，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的即可以解答此題．