Question

根據(jù)下列條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)過點(diǎn)P(3,-),離心率e=;

(2)F₁、F₂是雙曲線左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn),且∠F₁PF₂=60°,=12,離心率為2.

Answer 1

解：(1)若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)雙曲線方程為-=1,

由e=,有=,

又由a²+b²=c²,解①②得a²=1,b²=.

若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)雙曲線方程為-=1,

同理有=,-=1,a²+b²=c².

解得b²=-(舍去).

∴所求雙曲線方程為x²-4y²=1.

(2)設(shè)雙曲線方程為-=1,

因e==2,

∴2a=c,由||PF₁|-|PF₂||=2a=c.

由余弦定理得(2c)²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=(|PF₁|-|PF₂|)²+2|PF₁||PF₂|(1-cos60°),

∴4c²=c²+|PF₁|·|PF₂|.

又=|PF₁||PF₂|sin60°=12.

∴|PF₁||PF₂|=48.

∴3c²=48,得a²=4,b²=12.

∴所求雙曲線方程為-=1.