Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，連接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；

（3）（只理科做）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，與圓：交于，兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由條件可得，，聯(lián)立解出即可

（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元可得和，由可得，從而得出或即可

（3）分斜率為0和斜率不為0兩種情況討論，當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)：，則：，然后用分別表示出和即可

（1）由題意得，，

∵，∴，

∴橢圓的方程為

（2）由題意得，設(shè)直線：，，

.

，

∵，∴

∴，∴或

當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)（舍）

∴直線過(guò)定點(diǎn)

（3）當(dāng)斜率為0時(shí)，

①當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)：

則：，，

∴

，，

∴

令，，，

∴當(dāng)時(shí)，

綜上：.