Question

已知拋物線y²=4x，過x軸上一點(diǎn)K的直線與拋物線交于點(diǎn)P，Q．證明：存在唯一一點(diǎn)K，使得

1

|PK|2

+

1

|KQ|2

為常數(shù)，并確定K點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算

1

|PK|2

+

1

|KQ|2

，即可求得結(jié)論．

解答：證明：設(shè)K（a，0），過K點(diǎn)直線方程為y=k（x-a），交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y2=4x y=k(x-a)

，
∴k²x²-2（ak²+2）x+a²k²=0，
∴x1+x2=

2(ak2+2)

k2

，x1x2=a2…（5分）
∴|PK2|=(x1-a)2+

y

2 1

，|KQ2|=(x2-a)2+

y

2 2

…（7分）
∴

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1+ a 2 k2

a2(1+k2)

，…（12分）
令a=2，可得

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1

4

，K(2，0)．…（17分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．