Question

【題目】已知拋物線上一點到焦點F的距離，傾斜角為α的直線經(jīng)過焦點F，且與拋物線交于兩點A、B。

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；

(2)若α為銳角，作線段AB的中垂線m交x軸于點P。證明：。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，求得，由此求得點坐標(biāo)，將其代入拋物線方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得拋物線方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得線段中點坐標(biāo)，進(jìn)而求得線段中垂線方程，由此求得點坐標(biāo)，求出，由此計算出.

解：（1）由拋物線的定義知，

將點代入，得.得

∴拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為

（2）證：設(shè)直線AB與直線m的交點為C..直線

由，消去x得：。

則

設(shè)線段AB中垂線m的方程為：

令，得：，則點