Question

如果函數(shù)y=x²-2tx與y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在某一點取得相等的最小值，則k的最大值是

2 2

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知數(shù)y=x²-2tx在x=t時取得最小值-t²，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，知函數(shù)y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在x=2mk-

k

2

（m∈Z）時取得最小值-2，由已知得兩函數(shù)在同一點取得同樣的最值，故可得-t²=-2，2mk-

k

2

=t （m∈Z），從而將k用整數(shù)變量m表示，求最值即可

解答：解：函數(shù)y=x²-2tx在x=t時取得最小值-t²，
函數(shù)y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在x=2mk-

k

2

 （m∈Z）時取得最小值-2
∵函數(shù)y=x²-2tx與y=2sin

πx

k

（x＞0，k＞0）在某一點取得相等的最小值
∴-t²=-2，∵t＞0
∴t=

2

∴2mk-

k

2

=

2

 （m∈Z）
∴k=

2

2(m- 1 4 )

   （m∈Z）
∴m=1時，k取得最大值

2

2(1- 1 4 )

=

2 2

3

故答案為

2 2

3

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法