Question

某加工廠需要定期購買原材料，已知每公斤材料的價格為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元、
每公斤原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400公斤，每次購買的原材料當天即開始使用（即有400公斤不需要保管）．
（1）設該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內總的保管費用y₁關于x的函數關系式；
（2）求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最少，并求出這個最少（小）值．

Answer 1

解：（1）每次購買的原材料在x天內總的保管費用y₁=400×0.03[1+2+3++（x-1）]=6x²-6x（元）
（2）由（1）可知購買一次原材料的總的費用為6x²-6x+600+1.5×400x（元）
所以購買一次原材料平均每天支付的總費用
∴．
當且僅當，即x=10時，取等號．
∴該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最少，為714元．
分析：（1）由題知每次購買的原材料在x天內總的保管費用y₁=每公斤每天的保管費用×每天需要消耗原材料×使用的天數可得函數關系式；
（2）由（1）表示出購買一次原材料的總的費用，利用基本不等式求出y的最小值及此時的x的值即可．
點評：考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力，以及基本不等式在最值問題中的應用能力．