Question

三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2

3

，VC=1，D為AB中點，則下列結論錯誤的是（　　）

• A．二面角V-AB-C為60°
• B．直線AB、VC所成的角為90°
• C．直線AC、VB所成的角為60°
• D．三棱錐V-ABC的體積為

  1

  2

Answer 1

分析：根據題意，證出∠CDV就是二面角V-AB-C的平面角，且△VCD是正三角形，得A項不錯；根據線面垂直的判定定理證出AB⊥平面VCD，從而得到直線AB、VC所成的角為90°，故B項不錯；利用中位線，結合異面直線所成角的定義證出AC、VB所成的角的余弦值等于

5

8

，說明直線AC、VB所成的角不是60°，故C項錯誤；根據錐體體積公式結合題中數據算出三棱錐V-ABC的體積為

1

2

，故D項也不錯．由此得到本題答案．

解答：解：∵等腰△VAB與等腰△ABC有公共的底邊AB，D為AB中點，
∴VD⊥AB且CD⊥AB，可得∠CDV就是二面角V-AB-C的平面角
∵VC=CD=VD=1，
∴△VCD是正三角形，得∠CDV=60°．故A不錯；
∵VD⊥AB，CD⊥AB，VD、CD是平面VCD內的相交直線
∴AB⊥平面VCD，結合VC?平面VCD得AB⊥VC
即直線AB、VC所成的角為90°，故B不錯；
取VC、BC的中點E、F，連結DE、DF、EF
可得∠DFE或其補角就是直線AC、VB所成的角
∵△DFE中，DE=EF=1，DE=

3

2

∴cos∠DFE=

1+1- 3 4

2×1×1

=

5

8

，可得∠DFE≠60°，故C項錯誤；
對于D，由前面的分析可得三棱錐V-ABC的體積為
V=

1

3

×S_△VCD×AB=

1

3

×

3

4

×2

3

=

1

2

，故D項不錯
故選：C

點評：本題給出特殊三棱錐，求線面角、線線角、面面角并求錐體的體積．著重考查了二面角的定義與求法、異面直線所成角的定義和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．