Question

（08年西城區(qū)抽樣測(cè)試文）（14分）

設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其公差，.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，且 成等比數(shù)列，求；

（Ⅲ）若 成等比數(shù)列，求的取值集合.

Answer 1

解析：（Ⅰ）因?yàn)榈炔顢?shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，所以. …….. 1分

由，得，即，解得.

注意到，且，所以 或                . 3分

（Ⅱ）解：

由，，得，

從而，   故.    ….. 5分

由成等比數(shù)列，得此等比數(shù)列的公比為，

從而

由，解得， .               …….. 7分

（Ⅲ）解：

由， 得.

由成等比數(shù)列，得.

由，化簡(jiǎn)整理得              …….. 9分

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090421/20090421114656026.gif' width=40>，從而，

又且， 從而是的非的正約數(shù)， 故          ………….. 10分

① 當(dāng)或時(shí)，，

這與的各項(xiàng)均為整數(shù)相矛盾，  所以，且.              …….. 11分

② 當(dāng)時(shí)，由，

但此時(shí)，這與的各項(xiàng)均為整數(shù)相矛盾，   所以，.  ….. 12分

③ 當(dāng)時(shí)，同理可檢驗(yàn)，  所以，.            …….. 13分

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知符合題意.

綜上，的取值只能是，即的取值集合是.                 …….. 14分