Question

已知

2

是2ⁿ與2^m的等比中項，其中m，n＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值是

4

．

Answer 1

分析：先根據等比中項的定義求出m與n的等量關系即m+n=1，又

1

m

+

1

n

=（m+n）（

1

m

+

1

n

），展開后利用基本不等式可求最小值．

解答：解：∵

2

是2ⁿ與2^m的等比中項，
∴2ⁿ•2^m=（

2

）²即2^a+b=2即m+n=1，

1

m

+

1

n

=（m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2

n m × m n

=4
當且僅當m=n時取等號
故

1

m

+

1

n

的最小值為4
故答案為：4

點評：本題主要考查了等比數列的性質，以及利用基本不等式求解最值，解題的關鍵是要對所求的式子進行配湊成符合基本不等式的條件即是進行了1的代換，屬于基礎題．