Question

設函數f（x）=x（x-a）²，
（I）證明：a＜3是函數f（x）在區間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件；
（II）若x∈[0，|a|+1]時，f（x）＜2a²恒成立，且f（0）=0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數f（x）在區間（1，2）上遞減的充要條件，
f（x）在區間（1，2）上遞減?f'（x）=3x²-4ax+a²≤0在區間（1，2）上恒成立，處理二次不等式恒成立問題可用實根分布求解．
（II）x∈[0，|a|+1]時，f（x）＜2a²恒成立?f（x）_max＜2a²，x∈[0，|a|+1]，問題轉化為求函數的最值問題．
解答：解：（I）∵f（x）在區間（1，2）上遞減，
∴其導函數f'（x）=3x²-4ax+a²≤0在區間（1，2）上恒成立．
∴
故a≤3是函數f（x）在區間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件
解法二：f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a）≤0在區間（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴，∴∴2≤a≤3⇒a≤3
故a≤3是函數f（x）在區間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件
（II）∵f（x）=x（x-a）²
當a＞0時，函數y=f（x）在（）上遞增，
在上遞減，在上遞增，
故有
當a＜0時，函數y=f（x）在上遞增，
∴只要f（1-a）＜2a²⇒4a³-6a²+5a-1＞0
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，
則
所以g（a）在（-∞，0）上遞增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a²不能恒成立
故所求的a的取值范圍為
點評：本題考查已知函數的單調區間求參數范圍問題和不等式恒成立問題，體現分類討論和化歸思想．