Question

甲有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球，z個(gè)黃球的箱子，箱內(nèi)共有6個(gè)球，且每種顏色的球至少有一個(gè)；乙有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子．兩人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時(shí)為甲勝，兩球異色時(shí)為乙勝．
（1）當(dāng)x=1，且甲勝的概率為

1

4

時(shí)，求y與z；
（2）當(dāng)x=2，y=3，z=1時(shí)，規(guī)定甲取紅，白，黃而勝的得分分別為1分，2分，3分，負(fù)則得0分，記甲得分為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：兩人各自從自己的箱子中任取一球，共有36種不同的取法，并且得到：甲獲勝的不同取法有：3+2y+z，再根據(jù)等可能事件的概率公式得到：2y+z=6，結(jié)合y+z=5，可得答案．
（2）由題意可得：ξ可能取的數(shù)值為0，1，2，3，再分別求出其發(fā)生的概率，進(jìn)而得到ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由題意可得：兩人各自從自己的箱子中任取一球，共有6×6=36種不同的取法，
∵x=1，即紅球有1個(gè)，
∴甲獲勝的不同取法有：1×3+y×2+z×1=3+2y+z，
∴P（甲勝）=

3+2y+z

36

=

1

4

，整理可得：2y+z=6，
又∵x=1，
∴y+z=5，
∴解得y=1，z=4．
（2）由題意可得：ξ可能取的數(shù)值為0，1，2，3．
∴P（ξ=1）=

2×3

36

=

1

6

，P（ξ=2）=

3×2

36

=

1

6

，P（ξ=3）=

1×1

36

=

1

36

，
∴P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-

1

6

-

1

6

-

1

36

=

23

36

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	23 36	1 6	1 6	1 36

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

23

36

+1×

1

6

+2×

1

6

+3×

1

36

=

7

12

．

點(diǎn)評：本題主要考查等可能事件的概率公式，以及考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，此題屬于基礎(chǔ)題．