Question

設a＞0,b＞0,a+b=1.
（1）證明：ab+≥4;
(2)探索猜想，并將結果填在以下括號內：
a²b²+≥（   ）；a³b³+≥（   ）；
（3）由（1）（2）歸納出更一般的結論，并加以證明.

Answer 1

證明見解析(2) 16與64

（1）證明 方法一 ab+≥44a²b²-17ab+4≥0
?(4ab-1)(ab-4)≥0.
∵ab=()²≤=,
∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,
因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+≥4.
方法二 ab+=ab++，
∵ab≤=，∴≥4，∴≥.
當且僅當a=b=時取等號.
又ab+≥2=，
當且僅當ab=，即=4,a=b=時取等號.
故ab+≥+=4
（當且僅當a=b=時，等號成立）.
（2）解 猜想：當a=b=時，
不等式a²b²+≥(   )與a³b³+≥(  )取等號，故在括號內分別填16與64.
（3）解 由此得到更一般性的結論：
aⁿbⁿ+≥4ⁿ+.
證明如下：
∵ab≤=,∴≥4.
∴aⁿbⁿ+=aⁿbⁿ++
≥2+×4ⁿ
=+=4ⁿ+，
當且僅當ab=,即a=b=時取等號.