Question

（本小題滿分13分）已知函數f (x) =

    （1）若函數f (x)在其定義域內為單調函數，求實數a的取值范圍；

    （2）若函數f (x)的圖象在x = 1處的切線垂直于y軸，數列{}滿足

．

①若a1≥3，求證：an≥n + 2；

②若a1 = 4，試比較的大小，并說明你的理由．

 

Answer 1

【答案】

①a≥1或a≤0．②<

【解析】（1）∵f (1) = a – b = 0，∴a = b，∴f′(x) = ．要使函數f (x)在其定義域內為單調函數，則 (0，+∞)內(x) = 恒大于等于零，或恒小于等于零．

  由得而    由得  而    經驗證a=0及a=1均合題意，故

∴所求實數a的取值范圍為a≥1或a≤0．               ………………………5分

（2）∵函數f (x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，∴f′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a = 1，∴f′(x) = ，∴an + 1 = f′……7分

①用數學歸納法證明：（i）當n = 1時，a1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假設當n = k時不等式成立，即那么ak – k≥2＞0，∴ak + 1 = ak (ak – k) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是說，當n = k + 1時，ak + 1≥(k + 1) + 2．根據（i）和（ii），對于所有n≥1，有an≥n + 2．               ……………………………………10分

②由an + 1 = an (an – n) + 1及①，對k≥2，有ak = ak – 1 (ak–1 – k + 1) + 1≥ak –1 (k – 1 + 2 – k + 1) + 1 = 2ak–1 + 1，∴ak + 1≥2 (ak–1 + 1)≥22 (ak – 2 + 1)≥23 (ak –3 + 1)≥…≥2k–1 (a1 + 1)而，于是當k≥2時，

    …………………………13分