Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知

cosA-3cosC

cosB

=

3c-a

b

．
（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若B為鈍角，b=10，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理化簡已知表達式，通過兩角和的正弦函數與三角形的內角和，求出

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出a與c的關系，利用B為鈍角，b=10，推出關系求a的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
解：（I）由正弦定理，設

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，
則

3c-a

b

=

3ksinC-ksinA

ksinB

=

3sinC-sinA

sinB

，
所以

cosA-3cosC

cosB

=

3sinC-sinA

sinB

．…（4分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化簡可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此

sinC

sinA

=3．…（8分）
（II）由

sinC

sinA

=3得c=3a．…（9分）
由題意

a+c＞b a2+c2＜b2

，…（12分）
∴

5

2

＜a＜

10

…（14分）

點評：本題考查正弦定理與兩角和的正弦函數的應用，注意三角形的判斷與應用，考查計算能力．