Question

19．已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，點P（1+cos α，sin α），參數α∈[0，2π）．
（1）求點P軌跡的直角坐標方程 
（2）求點P到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平方關系即可得出普通方程．
（2）由ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，展開化為ρsin θ+ρcos θ=9．利用互化公式可得曲線C的直角坐標方程．求出圓（x-1）²+y²=1的圓心（1，0）到直線x+y=9的距離d，進而得出最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$利用平方關系可得：得點P的軌跡方程（x-1）²+y²=1．
（2）由ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，化為ρ=$\frac{9}{sinθ+cosθ}$，
∴ρsin θ+ρcos θ=9．
∴曲線C的直角坐標方程為x+y=9．
圓（x-1）²+y²=1的圓心（1，0）到直線x+y=9的距離d=$\frac{|1-9|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴|PQ|_min=4$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．