Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．  

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）．

【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)．考查學(xué)生對(duì)方程、函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，屬于綜合題型．

（1）確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)作為工具，求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即為f'（x）＞0的x的取值區(qū)間；

（2）方法一：利用函數(shù)思想進(jìn)行方程根的判定問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個(gè)相異的實(shí)根的不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

方法二：先分離變量再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意列出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組進(jìn)行求解

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121810215540476127/SYS201212181023183266209546_DA.files/image004.png">，………………………………………………1分

∵，     ………………………………………2分

∵，則使的的取值范圍為，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．       ……………………………………………4分

（2）方法1：∵，

∴．      …………………………6分

令，              

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，     ……………………8分

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根      ……10分

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是．      ………………………………12分

方法2：∵，

∴．      …………………………6分

即，

令， ∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．……………………8分

∵，，，

又，

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根．

                                        ……………………………………10分

即．

綜上所述，的取值范圍是．  ……………………………12分