Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=-f（x+

3

2

），且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，f（1）+f（2）+…+f（2012）=（　　）

A．-1

B．-2

C．0

D．1

Answer 1

分析：根據f（x）=-f（x+

3

2

），可求得函數的周期為T=3，可以利用周期將所求表達式按3個一組，每一組的和都等于f（-2）+f（-1）+f（0），從而求得答案．

解答：解：∵定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+

3

2

+

3

2

）=-f（x+

3

2

）=f（x），即f（x+3）=f（x），
∴函數f（x）是周期函數，并且周期為T=3，
又f（-2）+f（-1）+f（0）=f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）=…=0
∵2012=670×3+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=f（1）+f（2）+0×670=f（1）+f（2）=f（-2）+f（-1）=-2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=-2．
故選B．

點評：本題考查函數的周期性的應用，要求能深入挖掘奇函數這一條件，會推導抽象函數的周期．屬于基礎題．