Question

已知拋物線y²=4x的弦AB的中點的橫坐標為2，則|AB|的最大值為

 

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Answer 1

分析：由題意，設直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x，再結合弦長公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|表示出|AB|，把弦長用引入的參數表示出來，再由中點的橫坐標為2，研究出參數k，b的關系，使得弦長公式中只有一個參數，再根據其形式判斷即可得出最值

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，令直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x得k²x²+2（kb-2）x+b²=0
故有x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

故有

-2(kb-2)

k2

=4，解得b=

2-2k2

k

，即x1x2=

b2

k2

=

4-8k2+4k4

k4

又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

16-4× 4-8k2+4k4 k4

=4

1+k2

-1+2k2 k4

=4×

2+[-( 1 k2 - 1 2 )2+ 1 4 ]

≤4×

9 4

=6
故|AB|的最大值為6

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解題的關鍵是用弦垂公式表示出弦長，再結合題設中所給的條件將弦長表示成某個量的函數，利用求最值的方法求出最值．本題比較抽象，難點在二把弦長用參數表示出來之間，需要做大量的運算，做題時要有耐心，平時要注意提高符號運算能力．