Question

若在區間[-1，1]上，函數f（x）=x³-ax+1≥0恒成立，則a的取值范圍是

[0，

3 3 2

2

]

．

Answer 1

分析：由x³-ax+1≥0恒成立，得ax≤x³+1，再對x的取值進行分類討論，轉化為函數F（x）=x2+

1

x

的最值問題，注意導數工具的運用，列出關于字母a的不等式達到求解本題的目的．

解答：解：由x³-ax+1≥0恒成立，得ax≤x³+1，
①當x∈（0，1]時，
即a≤x2+

1

x

，x∈（0，1]恒成立，
設F（x）=x2+

1

x

，F′（x）=2x-

1

x2

，令F′（x）=0得x=

3	1 2

，
當x∈（0，

3	1 2

]時F′（x）＜0，當x∈（

3	1 2

，1]時F′（x）＞0，
故f（x）在（0，

3	1 2

]單調減，f（x）在（

3	1 2

，1]單調增，
∴當x=

3	1 2

時，函數f（x） 取得最小值，最小值為

3 3 2

2

；
∴a≤

3 3 2

2

②當x∈[-1，0）時，
即a≥x2+

1

x

，x∈[-1，0）恒成立，
設F（x）=x2+

1

x

，F′（x）=2x-

1

x2

，
當x∈[-1，0）時F′（x）＜0，
故f（x）在[-1，0）單調減，
∴當x=-1時，函數f（x） 取得最大值，最大值為0；
∴a≥0；
③當x=0時，函數f（x）=x³-ax+1≥0恒成立
綜上所述，a的取值范圍是[0，

3 3 2

2

]．
故答案為：[0，

3 3 2

2

]．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數恒成立問題，解答的關鍵是將問題轉化為函數的最值問題．