Question

已知函數(shù)f(x)=

sinx

+

cosx

，(0≤x≤

π

2

)，則f（x）的值域?yàn)?

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)，需要將兩邊進(jìn)行平方，利用倍角公式和兩角和差公式進(jìn)行化簡，再由x的范圍和解析式求出變形后的函數(shù)的值域，再對原函數(shù)進(jìn)行開方后求出值域．

解答：解：由題意知，f(x)=

sinx

+

cosx

，(0≤x≤

π

2

)，兩邊平方得，
f2(x)=sinx+cosx+2

sinxcosx

=

2

sin(x+

π

4

)+

2sin2x

，
∵0≤x≤

π

2

，
∴當(dāng)x=

π

4

時(shí)，函數(shù)f²（x）取到最大值2

2

=2

3

2

；當(dāng)x=0時(shí)，f²（x）取到最小值1，
∵0≤x≤

π

2

，
∴f(x)=

sinx

+

cosx

＞0，
∴f（x）的值域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[1，2

3

4

]．
故答案為：[1，2

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合三角函數(shù)的值域，因解析式中含有根號(hào)故需要平方后，利用倍角公式和兩角和差公式進(jìn)行化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和x的范圍求出函數(shù)的值域，考查了分析問題和解決問題的能力．