Question

已知函數(shù)f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，又g（1）=0，f（

3

）=2-

3

（1）求f（x）的表達(dá)式及值域；
（2）問是否存在實(shí)數(shù)m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

4

)＞

3

4

滿足復(fù)合命題p且q為真命題？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)表達(dá)式的求解主要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，如此題中f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱；求值域應(yīng)先判斷函數(shù)單調(diào)性，再求解
（2）復(fù)合命題p且q為真命題即p，q均為真命題，利用函數(shù)的單調(diào)性以及反函數(shù)的性質(zhì)，求出兩個命題不等式的解集即可求出結(jié)果．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，g（1）=0，則f（0）=1即b=1，
又由f（

3

）=2-

3

，得

3

a+2=2-

3

，可得a=-1，故f（x）的表達(dá)式為f（x）=

1+x2

-x（x≥0）
f（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞減，f（0）=1，又因?yàn)閒（x）＞0，所以f（x）的值域?yàn)椋?，1]
（2）復(fù)合命題p且q為真命題即要求p，q均為真命題．
命題p：∵f（x）在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）為真命題?m²-m＞3m-4≥0?m≥

4

3

且m≠2；
命題q：g（

m-1

4

）＞

1

4

，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以兩個函數(shù)互為反函數(shù)，具有相同的單調(diào)性，所以f（

1

4

）=

1+( 1 4 )2

-

1

4

=

2 17 -1

4

，所以

m-1

4

＜

2 17 -1

4

，即m＜2

17

．
p，q均為真命題時m的范圍是[

4

3

，2)∪(2，2

17

]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)、分式不等式的解法、命題的真假判斷等知識，考查分析問題解決問題的能力．