Question

已知橢圓

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1（a₁＞b₁＞0）與雙曲線

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（b₂＞0）有公共焦點F₁（-

13

，0），F₂（

13

，0），且橢圓的長軸長比雙曲線的實軸長大8，離心率之比為3：7，求橢圓和雙曲線的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設雙曲線的實軸，虛軸，半焦距分別為A，B，c，設橢圓的長半軸，短半軸，半焦距分別為a，b，c，由題意可知，c²=13，2a=2A+8，

c

A

：

c

a

=7：3，即3a=7A，由此能求出橢圓和雙曲線的方程．

解答： 解：設雙曲線的實軸，虛軸，半焦距分別為A，B，c
設橢圓的長半軸，短半軸，半焦距分別為a，b，c
由題意可知，c²=13，①，2a=2A+8，②

c

A

：

c

a

=7：3，即3a=7A，③
①②③三式聯立，解得：A=3，a=7
所以由橢圓定義，a=7，c²=13，所以b₁²=36
由雙曲線的定義，A=3，c²=13，所以b₂²=4
∴橢圓方程為

x2

49

+

y2

36

=1，雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓錐曲線的性質的合理運用．