Question

已知（1+i）²⁰¹⁰=1+C₂₀₁₀¹•i-C₂₀₁₀²-C₂₀₁₀³•i+…+C₂₀₁₀^k•i^k+…-C₂₀₁₀²⁰¹⁰（其中i為虛數單位），由此可以推斷出：C₂₀₁₀¹-C₂₀₁₀³+C₂₀₁₀⁵-…+（-1）^k•C₂₀₁₀^2k+1+…+C₂₀₁₀²⁰⁰⁹=________．

Answer 1

2¹⁰⁰⁵
分析：觀察已知（1+i）²⁰¹⁰=1+C₂₀₁₀¹•i-C₂₀₁₀²-C₂₀₁₀³•i+…+C₂₀₁₀^k•i^k+…-C₂₀₁₀²⁰¹⁰（其中i為虛數單位），右式中含有i的項為：：C₂₀₁₀¹-C₂₀₁₀³+C₂₀₁₀⁵-…+（-1）^k•C₂₀₁₀^2k+1+…+C₂₀₁₀²⁰⁰⁹，左式=（2i）¹⁰⁰⁵=2¹⁰⁰⁵ i，根據左右相等即可得到答案．
解答：由已知（1+i）²⁰¹⁰=1+C₂₀₁₀¹•i-C₂₀₁₀²-C₂₀₁₀³•i+…+C₂₀₁₀^k•i^k+…-C₂₀₁₀²⁰¹⁰（其中i為虛數單位），
右式中含有i的項為：：C₂₀₁₀¹-C₂₀₁₀³+C₂₀₁₀⁵-…+（-1）^k•C₂₀₁₀^2k+1+…+C₂₀₁₀²⁰⁰⁹，
左式=（2i）¹⁰⁰⁵=2¹⁰⁰⁵ i，根據左右相等得：
C₂₀₁₀¹-C₂₀₁₀³+C₂₀₁₀⁵-…+（-1）^k•C₂₀₁₀^2k+1+…+C₂₀₁₀²⁰⁰⁹=2¹⁰⁰⁵
故答案為：2¹⁰⁰⁵
點評：本題是一個考查類比推理、復數概念的題目，在考查復數運算時，題目要先進行乘法運算，復數的加減乘除運算是比較簡單的問題．