Question

已知點P在橢圓=1(a＞b＞0)上,F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，求|PF₁|·|PF₂|的取值范圍.

Answer 1

解:設(shè)P(x₀,y₀),橢圓的準線方程為y=±,不妨設(shè)F₁、F₂分別為下焦點、上焦點，則,.

∴|PF₁|=y₀+a,|PF₂|=a－y₀.

∴|PF₁|·|PF₂|=(a+y₀)(a－y₀)=a²－y₀².

∵－a≤y₀≤a,

∴當(dāng)y₀=0時，|PF₁|·|PF₂|最大，最大值為a²;當(dāng)y₀=±a時， |PF₁|·|PF₂|最小，最小值為a²－c²=b².因此，|PF₁|·|PF₂|的取值范圍是［b²,a²］.