Question

已知點P在橢圓+=1 (a＞b＞0)上,F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，求|PF₁|·|PF₂|的取值范圍.

Answer 1

|PF₁|·|PF₂|的取值范圍是［b²,a²］.

解析:

設(shè)P(x₀,y₀),橢圓的準(zhǔn)線方程為y=±,不妨設(shè)F₁、F₂分別為下焦點、上焦點，

則=,=.

∴|PF₁|=y₀+a,|PF₂|=a-y₀.

∴|PF₁|·|PF₂|=(a+y₀)(a-y₀)

=a²-y₀².

∵-a≤y₀   ≤a,

∴當(dāng)y₀=0時，|PF₁|·|PF₂|最大，最大值為a²;當(dāng)y₀=±a時，|PF₁|·|PF₂|最小，最小值為a²-c²=b^2.因此，|PF₁|·|PF₂|的取值范圍是［b²,a²］.