Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體的體積V的大小；
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值．

Answer 1

（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S梯形BCED=

1

2

×(4+1)×4=10
∴即該幾何體的體積V=

1

3

•S梯形BCED•AC=

1

3

×10×4=

40

3

．（5分）
（2）解法1：過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，
則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．（7分）
在△BAF中，∵AB=4

2

，BF=AF═

16+9

=5．
∴cos∠ABF=

BF2+AB2-AF2

2BF•AB

=

2 2

5

．
即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

2 2

5

．（12分）
解法2：
以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．（6分）
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴

DE

=(0，-4，3)，

AB

=(-4，4，0)，（8分）
∴cos＜

DE

，

AB

＞=-

2 2

5

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

2 2

5

．（12分）