Question

如圖，A，B是橢圓的左右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，若橢圓C的離心率為，且右準線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交直線MB于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求出R點的坐標．

Answer 1

（1）解：由題意：，解得．∴橢圓C的方程為． …（6分）
（2）證明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
設M（x₀，y₀），R（t，0），則直線AM的方程為，
令x=4，得，即點P的坐標為，…（9分）
由題意，MQ⊥PQ，∴k_MQ•k_PQ=-1，∴，即，…（12分）
又，∴，∴，∴．
∴直線PQ與x軸的交點R為定點． …（16分）
分析：（1）由橢圓C的離心率為，且右準線l的方程為x=4，聯立方程組成方程組，即可求得橢圓C的方程；
（2）設直線AM的方程，可得點P的坐標，根據MQ⊥PQ，可得k_MQ•k_PQ=-1，利用M再橢圓上，即可得直線PQ與x軸的交點R為定點．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．