Question

P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是

5

，

17

，

13

，則P到A點(diǎn)的距離是

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，證出△PAB、△PAD、△PBC都是直角三角形．因此設(shè)PA=x，AB=y且AD=z，結(jié)合題中數(shù)據(jù)建立關(guān)于x、y、z的方程組，解之得到x、y、z的值，即可得到P到A點(diǎn)的距離．

解答：解：設(shè)P到A點(diǎn)的距離PA=x，AB=y且AD=z，則
∵PA⊥平面ABCD，AB、AD、BC?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC
∵BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB
Rt△PAB中，PB=

x2+y2

=

5

…①
同理，可得PD=

y2+z2

=

13

…②，PC=

x2+y2+z2

=

17

…③
將①②③聯(lián)解，可得x=1，y=2，z=3
故P到A點(diǎn)的距離PA=1
故答案為：1

點(diǎn)評：本題給出四棱錐的底面為矩形且一條側(cè)棱與底面垂直，在已知三條斜側(cè)棱的情況下求四棱錐的高．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與空間距離的求法等知識，屬于中檔題．